% GNU projekt 2002 (Matalyza)
% kapitola 4.8
% Prepisoval Jozef Racak, racak@spievatko.sk

\subsection{Taylorov polyn�m}

\deff
{
Nech funkcia $f$ je n-kr�t diferencovate�n� v bode $a \in \R$. Potom \ue{Taylorov�m polyn�mom stup�a 
$n$ funkcie $f$ v bode $a$} sa naz�va polyn�m (v premennej $x$) 
$$ f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+ \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$
Ak �peci�lne $a=0$, pou��va sa namiesto n�zvu Taylorov polyn�m ozna�enie \ue{Maclaurinov polyn�m}.

\paragraph{Veta 19.}
Ak funkcia $f$ je n-kr�t diferencovate�n� v bode $a \in \R$ a $T_n$ je jej Taylorov polyn�m stup�a $n$ v bode $a$, tak
$$ \lim_{n \rightarrow a} \frac{f(x)-T_n(x)}{(x-a)^n}=0 $$
(Rozdiel $f-T_n$ sa naz�va \ue{zvy�ok Taylorovho polyn�mu} stup�a $n$ funkcie $f$ v bode $a$.)

Nech funkcia $g$ je definovan� v niektorom r�dzom okol� bodu $a \in \R^*$ a nenadob�da tam nulov� hodnoty. 
Znakom $o(g)$ budeme ozna�ova� triedu v�etk�ch funkci� $f$ tak�ch, �e
\begin{enumerate}
\item ich defini�n� obor obsahuje niektor� r�dze okolie bodu $a$,
\item plat� $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0 $.
\end{enumerate}

Namiesto z�pisu $f \in o(g)$ sa pou��va z�pis $f=o(g)$. (Pokia� by s kontextu nebolo jasn�, ktor�ho $a \in \R$ sa 
vz�ah $f=o(g)$ t�ka, pou��va sa z�pis $f=o(g) (x \rightarrow a)$.)
Z�pis $f=h+o(g)$ treba ch�pa� nasledovne: funkcia $f$ je s��tom funkcie $h$ a niektorej funkcie z triedy $o(g)$.
\newline

Ak funkcia $f$ je n-kr�t diferencovate�n� v bode $a \in \R$, patr� pod�a vety 19 zvy�ok jej Taylorovho 
polyn�mu stup�a $n$ v bode $a$ do triedy $o((x-a)^{n})$, mo�no teda nap�sa�
$$ f(x)=f(a)+ \frac{f'(a)}{1!}(x-a)+ \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+ o\left((x-a)^{n}\right) $$
tento z�pis sa naz�va Taylorov�m vzorcom so zvy�kom v Peanovom tvare.
\newline

V nasleduj�cich pr�kladoch budeme pou��va� tieto tvrdenia (v z�pisoch v�ade vynech�vame 
$x \rightarrow 0$; $m$, $n$ s� prirodzen� ��sla):
\begin{enumerate}
\item ak $f(x)=o\left(x^{n}\right)$ a $g(x)=o\left(x^{n}\right)$, tak $f(x)+g(x)=o\left(x^{n}\right)$ ;
\item ak $m>n$ a $f(x)=o\left(x^{m}\right)$, tak $f(x)=o\left(x^{n}\right)$ ;
\item ak $f(x)=o\left(x^{n}\right)$, tak $f^{m}(x)=o\left(x^{m.n}\right)$ ;
\item ak $f(x)=o\left(x^{n}\right)$, tak $x^{m}.f(x)=o\left(x^{m+n}\right)$ ;
\item ak $f(x)=o\left(x^{n}\right)$ a $g(x)=o\left(x^{m}\right)$, tak $f(x).g(x)=o\left(x^{m+n}\right)$ .
\end{enumerate}

Uveden� aplik�cie budeme zapisova� nasledovne:
\begin{enumerate}
\item $o\left(x^{n}\right)+o\left(x^{n}\right)=o\left(x^{n}\right)$ ;
\item $o\left(x^{m}\right)=o\left(x^{n}\right)$ pre $m>n$ ;
\item $o^{m}\left(x^{n}\right)=o\left(x^{m.n}\right)$ ;
\item $x^{m}.o\left(x^{n}\right)=o\left(x^{m+n}\right)$ ;
\item $o\left(x^{n}\right).o\left(x^{m}\right)=o\left(x^{m+n}\right)$ .
\end{enumerate}

Pou��vanie t�chto z�pisov vy�aduje ist� opatrnos�, preto�e ide o symbolick� vyjadrenie implik�ci�, 
nemo�no (na rozdiel od skuto�n�ch rovn�c) tieto rovnosti ��ta� sprava do�ava.
}


\TASKLIST{Na z�klade v�po�tu pr�slu�n�ch deriv�ci� zostrojte Taylorov polyn�m stup�a $n$ funkcie $f$ v bode $a$, ak:}
{
\stask{ $f(x)= \sqrt{x+1}$, $a=- \frac{1}{2}$, $n=4$ ;}{}
\stask{ $f(x)= \tan{x}$, $a=0$, $n=3$ ;}{}
\stask{ $f(x)= \sin{\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)}$, $a=0$, $n=5$ ;}{}
\stask{ $f(x)= \frac{1}{2x+3}$, $a=-1$, $n$ �ubovo�n� ;}{}
\stask{ $f(x)= \sin^{4}{x}+ \cos^{4}{x}$, $a= \frac{\pi}{4}$, $n$ �ubovo�n� ;}{}
}

\TASK{ 
Nech funkcia $f$ je n-kr�t diferencovate�n� v bode $a \in \R$, nech existuj� ��sla 
$A_0, \ldots, A_n \in \R$ tak plat�
$$ f(x)=A_0+A_1(x-a)+ \cdots + A_n(x-a)^{n}+o\left((x-a)^{n}\right) $$
Potom $A_0+A_1(x-a)+ \cdots + A_n(x-a)^{n}$ je Taylorov polyn�m stup�a $n$ funkcie $f$ v bode $a$. Dok�te!
}{}

V nasleduj�cich pr�kladoch vyu�ijeme tvrdenie z pr.~386 a znalos� Maclaurinov�ch polyn�mov t�chto funkci� (mo�no zostroji� v�po�tom pr�slu�n�ch deriv�ci�):
\begin{enumerate}
\item $e^x=1+x+ \frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$ ;
\item $\sin{x} = x- \frac{x^3}{3!}+ \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o\left(x^{2n}\right)$ ; 
\footnote{preto�e $\sin^{2n}{(0)}=0$, maj� Maclaurinov polyn�m stup�a $2n-1$ a Maclaurinov polyn�m stup�a $2n$ rovnak� tvar, 
preto aj zvy�ok Maclaurinovho polyn�mu stup�a $2n-1$ funkcie $\sin$ patr� do triedy $o(x^{2n})$; podobn� pozn�mka plat� o funkcii $cos$}
\item $\cos{x} = 1- \frac{x^2}{2!}+ \cdots +(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\left(x^{2n+1}\right)$ ;
\item $\ln{1+x}=x- \frac{x^2}{2}+ \cdots +(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$ ;
\item $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+ \cdots +x^n+o\left(x^n\right)$ ;
\item $(1+x)^{\alpha}=1+x+ \frac {\alpha (\alpha -1)}{2!} x^2+ \cdots + \frac{(\alpha -1) \ldots (\alpha -n+1)}{n!} x^n + o\left(x^n\right)$; $(\alpha \in \R)$ 
\end{enumerate}

\TASKLIST{N�jdite Maclaurinove polyn�my stup�a $n$ funkci�:}
{
\stask{ $f(x)=e^{\frac {x}{7} }$ ;}{}
\stask{ $f(x)=e^{x^2}$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\cos {x^3}$ ;}{}
\stask{ $f(x)=x^2 \ln {(1+x)}$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\frac {1}{2+3x^2}$ ;}{}
\stask{ $f(x)=x^3 \sin {3x}$ .}{}
}

\sol{Rie�enie: 2.}
{
Preto�e funkcia $e^{x^2}$ m� deriv�cie v�etk�ch r�dov v bode 0 (vypl�va to matematickou indukciou z viet o deriv�cii 
s��tu, s��inu a zlo�enej funkcie), existuje jej Maclaurinov polyn�m �ubovo�n�ho stup�a. Jeho koeficienty nebudeme h�ada� 
derivovan�m funkcie $e^{x^2}$ namiesto toho pou�ijeme tento postup:

Ak ozna��me $R_n(z)$ zvy�ok Maclaurinovho polyn�mu stup�a $n$ funkcie $e^z$, tak pre ka�d� $z \in \R$ plat�

\begin{equation} \label{tmp387a}
e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+R_n(z)
\end{equation}

pritom pod�a vety~19 je $\lim_{z\rightarrow 0}\frac{R_n(z)}{z^n}=0$ t.j. $R_n(z)=o\left(z^n\right)$.

Ak polo��me $z=x^2$, z~(\ref{tmp387a}) vypl�va: pre ka�d� $x\in \R$ plat�
$$ e^{x^2}=1+x^2+\cdots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right) $$

pritom $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{R_n\left(x^2\right)}{x^{2n}}=0$ (vypl�va to z vety o limite zlo�enej funkcie 
a z toho, �e $\lim_{z \rightarrow 0} \frac{R_n(z)}{z^n}=0$), teda $R_n\left(x^2\right)=o\left(x^{2n}\right)$. 
Pod�a tvrdenia z pr.~386 je preto $1+x^2+\cdots+\frac{x^{2n}}{n!}$ Maclaurinov polyn�m stup�a $2n$ 
funkcie $e^{x^2}$.
\newline

(Priamo z defin�cie Maclaurinovho polyn�mu vypl�va: ak z Maclaurinovho polyn�mu stup�a $k$; $k\geq 2$ funkcie $f$ 
vynech�me �len obsahuj�ci $x^k$, dostaneme Maclaurinov polyn�m stup�a $k-1$ funkcie $f$. Teda Maclaurinov polyn�m 
stup�a $2n-1$ funkcie $e^{x^2}$ je $1+x^2+\cdots+\frac{x^{2n-2}}{(n-1)!}$ )
\newline
}

\sol{Rie�enie: 4.}
{
Ak rovnos� 
$$ \ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\cdots+{(-1)}^{n-3}\frac{x^{n-2}}{n-2}+{(-1)}^{n-2}\frac{x^{n-1}}{n-1}+{(-1)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right) $$

vyn�sob�me $x^2$, dostaneme
$$ x^2\ln{(1+x)}=x^3-\frac{x^4}{2}+\cdots+{(-1)}^{n-3}\frac{x^n}{n-2}+{(-1)}^{n-2}\frac{x^{n+1}}{n-1}+{(-1)}^{n-1}\frac{x^{n+2}}{n}+x^2o\left(x^n\right) $$

Funkcia ${(-1)}^{n-2}\frac{x^{n+1}}{n-1}+{(-1)}^{n-1}\frac{x^{n+2}}{n}+x^2o\left(x^n\right)$ patr� do triedy 
$o\left(x^n\right)$, preto m��eme p�sa�:
$$ x^2\ln{(1+x)}=x^3-\frac{x^4}{2}+\cdots+{(-1)}^{n-3}\frac{x^n}{n-2}+o\left(x^n\right) $$

�o pod�a tvrdenia z pr.~386 znamen�, �e $x^3-\frac{x^4}{2}+\cdots+{(-1)}^{n-3}\frac{x^n}{n-2}$ je Maclaurinov polyn�m 
stup�a $n$; $n\geq 3$ funkcie $x^2\ln{(1+x)}$. Zrejme Maclaurinov�mi polyn�mami stup�a 1 a 2 s� funkcie identicky rovn� nule.
}

\TASKLIST{Najdite Maclaurinove polyn�my stup�a $n$ funkci�:}
{
\stask{ $f(x)=e^{\sin^{2}{x}}$, $n=4$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\sqrt[3]{1+3\sin{x}}$, $n=3$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\ln^{3}{\left(1-\frac{x}{2}\right)}$, $n=3$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\ln{\left(x^2+x+1\right)}$, $n=4$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\cos{x}.\ln{(1+x)}$, $n=5$ .}{}
}

\sol{Rie�enie: 1.}
{
Ak do rovnosti
$$ e^z=1+z+\frac{z^2}{2}+R(z) $$

(R ozna�uje zvy�ok Maclaurinovho polyn�mu) dosad�me $z=\sin^{2}{x}$, dostaneme

\begin{equation} \label{tmp388a}
e^{\sin^{2}{x}}=1+\sin^{2}{x}+\frac{\sin^{4}{x}}{2}+R\left(\sin^{2}{x}\right)
\end{equation}

pritom $R\left(\sin^{2}{x}\right)=o\left(x^4\right)$. Preto�e $R(z)=o\left(x^2\right)$, je 
\begin{displaymath}
\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{R\left(\sin^{2}{x}\right)}{x^4}}=
\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\sin^{4}{x}}{x^4}}.\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{R\left(\sin^{2}{x}\right)}{\sin^{4}{x}}}=1.\lim_{z \rightarrow 0}{\frac{R(z)}{x^2}}=0
\end{displaymath}

Pomocou rovnost� $\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)$, $\sin{x}=x+o(x)$ m��eme~(\ref{tmp388a}) prep�sa� a upravi� nasledovne:

\begin{eqnarray}
e\sin{x} & = & 1+{\left(x-\frac{x^3}{3!}+o\left(x^3\right)\right)}^{2}+o\left(x^4\right) = \label{tmp388b} \\
         & = & \begin{tabular}{|l|} \hline $1$ \\ \hline \end{tabular} 
               + \left(x^2\right) + 
               \left(\begin{tabular}{|l|} \hline $x^2$ \\ \hline \end{tabular} 
                     + \frac{x^6}{3!3!}+o^2\left(x^3\right) +
                     \begin{tabular}{|l|}\hline $-\frac{2x^4}{3!}$ \\ \hline \end{tabular} + 
                     2x.o\left(x^3\right) - \frac{2x^3.o\left(x^3 \right)}{3!} 
               \right) + \nonumber \\
         &   & + \bigg( \begin{tabular}{|l|} \hline $x^4$ \\ \hline \end{tabular}  
                       + 4x^3.o(x) + 6x^2.o^2(x) + 4x.o^3(x)+o^4(x) 
                 \bigg) + o\left(x^4\right) \nonumber
\end{eqnarray}

V�etky ���tance okrem vyzna�en�ch patria do $o\left(4^x\right)$, patr� tam teda aj ich s��et. Rovnos�~(\ref{tmp388b}) preto m��eme p�sa�
$$ e^{\sin^{2}{x}}=1+x^2+\left(1-\frac{2}{3!}\right)x^4+o\left(x^4\right) $$
�o pod�a tvrdenia z pr.~386 znamen�, �e $1+x^2+\frac{2}{3}x^4$ je Maclaurinov polyn�m stup�a 4 funkcie $e^{\sin^{2}{x}}$ .
}

\sol{Pozn�mka:}
{
Zo z�veru uveden�ho postupu vypl�va, �e stupne Maclaurinov�ch polyn�mov funkci� $e^z$ a $sin^{2}{x}$ sme zvolili tak, 
aby v~(\ref{tmp388b}) v�etky ���tance, ktor� nemaj� tvar $\alpha x^m$, $m=0,1,\ldots$ (medzi ne patr� aj funkcia 
$R\left(\sin^{2}{x}\right)$) boli z triedy $o\left(x^4\right)$.

V�imnite si tie�, �e hoci prav� strana rovnosti~(\ref{tmp388b}) obsahuje dokonca polyn�m 6. stup�a, nem��eme tvrdi�, 
�e tento polyn�m je Maclaurinov�m polyn�mom 6. stup�a funkcie $e^{\sin^{2}{x}}$; z n�ho postupu toti� nevypl�va, 
�e by s��et zvy�n�ch �lenov na pravej strane rovnosti~(\ref{tmp388b}) patril do $o\left(x^6\right)$ .
}

\TASKLIST{N�jdi Taylorov polyn�m stup�a $n$ funkcie $f$ v bode $a$, ak:}
{
\stask{ $f(x)=e^{x^2+2x-1}$, $a=-1$ ;}{}
\stask{ $f(x)=x^2e^{-2x}$, $a=-1$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\left(1+x^2\right) \ln{\sqrt{1+x}}$, $a=0$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\frac{x^4+1}{x^2+1}$, $a=0$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\frac{x+5}{2x-4}$, $a=-\frac{1}{10}$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\ln{\left(x^2-7x+12\right)}$, $a=1$ .}{}
}

\sol{N�vod:}
{Substit�ciou $x-a=t$ mo�no h�adanie Taylorovho polyn�mu funkcie $f$ v bode $a$ previes� na h�adanie Maclaurinovho 
polyn�mu funkcie $g(t):=f(t+a)$.}

\TASKLIST{Pomocou Taylorov�ch polyn�mov n�jdite nasleduj�ce limity:}
{
\stask{ $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\tan{x}-\sin{x}}{x^3}}$ ;}{}
\stask{ $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\cos{x}-e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sin{x^4}}}$ ;}{}
\stask{ $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{e^x\sin{x}-x(1+x)}{x^3}}$ ;}{}
\stask{ $\lim_{x\rightarrow 0}{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right)}$ ;}{}
\stask{ $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln\left(1+x^3\right)-2\sin{x}+2x\cos{x^2}}{\tan{x^3}}}$ ;}{}
\stask{ $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\ln{\left(\cos{x}+\frac{x^2}{2}\right)}}{e^{-\frac{x^2}{2}}-\cos{x}}}$ .}{}
}

\sol{Rie�enie: 2.}
{
Funkciu v �itateli nap�eme v tvare $\alpha x^m+o\left(x^m\right)$, kde $\alpha \not=0$ (t.j. z t�ch jej Maclaurinov�ch 
polyn�mov, ktor� nie s� identicky rovn� 0, vyberieme polyn�m najni��ieho stup�a); To ist� urob�me v menovateli.

V na�om pr�pade:
\begin{eqnarray}
\cos{x-e^{-\frac{x^2}{2}}} & = & \left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o\left(x^4\right)\right)-
                                 \left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o\left(x^4\right)\right) = 
                                 -\frac{1}{12}x^4+o\left(x^4\right) \nonumber \\
			   &   & \nonumber \\
\sin{x^4}                  & = & x^4+o\left(x^4\right) \nonumber	   
\end{eqnarray}

Potom:
\begin{displaymath}
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\cos{x}-e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sin{x^4}}} = 
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{-\frac{1}{12}x^4+o\left(x^4\right)}{x^4+o\left(x^4\right)}} =
\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{-\frac{1}{12}+\frac{o\left(x^4\right)}{x^4}}{1+\frac{o\left(x^4\right)}{x^4}}} = 
\frac{1}{12}
\end{displaymath}

(rovnos� $\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{o\left(x^4\right)}{x^4}}=0$ vypl�va z defin�cie symbolu $o\left(x^4\right)$).
}

\TASKLIST{N�jdite $f^{(k)}(0)$, ak:}
{
\stask{ $f(x)=e^{-x^2}$, $k=60$ ;}{}
\stask{ $f(x)=\frac{1}{1+x+x^2}$, $k=32$ .}{}
}

\deff
{
\paragraph{Veta 20.}
Nech je dan� funkcia $f$, nech funkcia $f^{(n)}$ je definovan� a spojit� v niektorom okol� $O(a)$ bodu $a\in\R$, 
nech pre ka�d� $x\in O(a)\backslash\{a\}$ existuje vlastn� $f^{(n+1)}(x)$. 
Nech $T_n$ je Taylorov polyn�m stup�a $n$ funkcie $f$ v bode $a$. Potom

\begin{enumerate}
\item pre ka�d� $x\in O(a)$, $x>a$ ($x\in O(a)$, $x<a$) existuje ��slo $\vartheta(x)\in(a,x)$ ($\vartheta(x)\in(x,a)$) tak�, �e
$$ f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\vartheta(x))}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1} $$
(tzv. Lagrangeho tvar zvy�ku); 
\item pre ka�d� $x\in a$, $x>a$ ($x\in a$, $x<a$) existuje ��slo $\vartheta(x)\in(a,x)$ ($\vartheta(x)\in(x,a)$) tak�, �e
$$ f(x)-T_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\vartheta(x))}{n!}(x-a){\left(x-\vartheta(x)\right)}^n $$
(tzv. Cauchyho tvar zvy�ku)
\end{enumerate}
}{}

\TASKLIST{Odhadnite absol�tnu chybu $\Delta$ nasleduj�cich pribli�n�ch vzorcov:}
{
\staskl{ $e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots+\frac{x^{10}}{10!}$, $x\in\langle0,1\rangle$ ;\\}{}
\staskl{ $\sin{x}\approx x-\frac{x^3}{6}$, $|x|\leq 0,5$ ;\\}{}
\staskl{ $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}$, $0\leq x\leq 0,2$ .\\}{}
}

\TASKLIST{Pre $x\geq 0$ dok�te nasleduj�ce nerovnosti:}
{
\stask{ $e^x \geq 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}$ ;}{}
\stask{ $e^x \leq 1+x+\frac{x^2e^x}{2}$ ;}{}
\stask{ $x-\frac{x^2}{2}\leq \ln{(1+x)}\leq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$ .}{}
}



